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クロネッカーデルタとは

クロネッカーデルタとは
週刊現代

35. Sets

他の集合から冗長性を取り除くために他の整理関数を使う必要があるかもしれません。 以下は trigsimp を使った例です:

元が冗長でなく、並べ換えられている時、集合は整理されてます。 集合関数の現在のバージョンは 集合を順に並べるためにMaxima関数 orderlessp を使います; しかしながら、 集合関数の将来のバージョンは、違う並び替え関数を使うかもしれません。

Maximaはリストと集合を異なるオブジェクトとして扱います; union や intersection のような関数は、 クロネッカーデルタとは もし引数のいずれかが集合でないなら文句を言います。 もしリストに集合関数を適用する必要があるなら、 集合に変換するために setify 関数を使ってください。 例えば、

集合 s の集合要素のうち述語論理 f を満たすすべての要素を抽出するためには、 subset(s, f) を使ってください。 (述語論理はブーリアン値関数です。) 例えば、 与えられた集合の中で変数 z に依存しない等式を見つけるには、 以下を使ってください。

35.1.2 Set Member Iteration

集合の要素上を反復する2つの方法があります。 1つの方法は map の使用です; 例えば:

他の方法は for x in s do を使うことです。

Maxima関数 first と rest は集合に対して正しく機能します。 集合に適用されると、 first は最初に表示される集合の要素を返します; それは実装依存かもしれません。 もし s が集合なら、 rest(s) は disjoin(first(s), s) クロネッカーデルタとは と同値です。 今は、集合に対して正しく機能する Maxima関数が他にもあります。 集合関数の将来のバージョンでは、 first と rest は今と違うように動くかもしれませんし、 全く動かないかもしれません。

Maximaの orderless と ordergreat メカニズムは集合関数と互換性がありません。 もし orderless か ordergreat のいずれかを使う必要があるなら、 どんなものでも集合を構成する前にこれらの関数をコールしてください。 そして unorder をコールしないでください。

35.1.3 Authors

マサチューセッツ州ケンブリッジ市の Stavros Macrakisと ネブラスカ大学カーニー校(UNK)の Barton Willisが Maximaの集合関数とそれらのドキュメンテーションを書きました。

35.2 Functions and クロネッカーデルタとは クロネッカーデルタとは Variables for Sets

関数: adjoin ( x , a )

集合 a に要素 < x >を加えた集合を返します。

もし a が集合リテラルでないなら adjoin は文句を言います。

adjoin( x , a ) と union(set( x ), a ) は同値です; しかし adjoin は union より幾分早いかもしれません。

関数: belln ( n )

n番目のベル数を返します。 belln(n) は n 個のメンバーを持つ集合の分割の数です。

非負整数 n の場合、 belln( n ) は n番目のベル数に整理されます。 他の引数の場合どんなものでも belln は整理されません。

関数: cardinality ( a )

集合 a の異なる要素の数を返します。

整理がディセーブルされた時でも cardinality は冗長な要素を無視します。

関数: cartesian_product ( b_1 , . , b_n )

形式 [ x_1 , . x_n ] のリストの集合を返します。 クロネッカーデルタとは クロネッカーデルタとは ここで x_1 , . x_n はそれぞれ集合 b_1 , . , b_n の要素です。

もし任意の引数が集合リテラルでないなら cartesian_product は文句を言います。

関数: disjoin ( x , a )

要素 x を持たない集合 a を返します。 もし x が a のメンバーでないなら a をそのまま返します。

もし a が集合リテラルでないなら disjoin は文句を言います。

disjoin( x , a ) , delete( x , a ) , setdifference( a , set( x )) はすべて同値です。 これらの中で disjoin は一般的に他より速いです。

関数: disjointp ( a , b )

集合 a と b が交わらないなら true を返します。

もし a か b が集合リテラルでないなら disjointp は文句を言います。

関数: divisors ( n )

n がゼロでない整数の時、 divisors( n ) は整数の集合に整理されます。 約数の集合は要素 1と n を含みます。 負の整数の約数はその絶対値の約数です。

28は完全数であることを検証できます: (自身を除いた)約数が 28です。

divisors は整理関数です。 divisors(a) の中で a に8を代入することは、 divisors(8) を再評価せずに約数をもたらします。

関数:クロネッカーデルタとは クロネッカーデルタとは elementp ( x , a )

x が集合 a の要素の場合だけ true を返します。

もし a が集合リテラルでないなら elementp は文句を言います。

関数: emptyp クロネッカーデルタとは ( a )

a が空の集合か空のリストの場合だけ true を返します。

関数: equiv_classes ( s , F )

集合 s の同値関係 F に関する同値クラスの集合を返します。

F クロネッカーデルタとは は s の s との直積集合上の2変数関数です。 F の戻り値は true か false 、もしくは is( expr ) が true か false のような 式 expr です。

F が同値関数でない時、 equiv_classes は不平なくそれを受け入れますが、 その場合、結果は一般に正しくありません。

同値関係が true か false を返すラムダ式です。

同値関係が、 is が true か false に評価される 関係関数の名前です。

関数: every
every ( f , s )
every ( f , L_1 , . L_n )

もし述語論理 f が与えられた引数すべてで true なら、 true を返します。

ある集合が二番目の引数として与えられたとして、 もし クロネッカーデルタとは クロネッカーデルタとは クロネッカーデルタとは is( f ( a_i )) が s の中の a_i すべてに関して true を返すなら、 every( f , s ) は true です。 every は s の中の a_i すべてに関して f を評価するかどうかわかりません。 集合は順序付けされていないので、 every は任意の順序で f ( a_i ) を評価します。

引数に1つか複数のリストが与えられたとして、 もし is( f ( x_1 , . x_n )) が クロネッカーデルタとは L_1 , . L_n それぞれの中の x_1 , . x_n すべてに対して true を返すなら、 every( f , L_1 , . L_n ) は true を返します。 every は、 x_1 , . x_n のすべての組み合わせに対して f を評価するかどうかわかりません。 every はインデックスを増やす順序でリストを評価します。

空の集合 <> または空のリスト [] が引数に与えられると、 every は true を返します。

グローバルフラグ maperror が true の時、 リスト L_1 , . L_n すべては長さが等しくなければいけません。 maperror が false の時、 リスト引数は最短のリストの長さに効果的に切り詰められます。

true か false 以外の何かに ( is を介して)評価される述語論理 f の戻り値は、 prederror が決定します。 prederror が true の時、 そんな値は false として扱われ、 every の戻り値は false です。 prederror が false の時、 そんな値は unknown として扱われ、 every の戻り値は unknown です。

1つの集合に適用された every 。 述語論理は1引数関数です。

2つのリストに適用された every 。 述語論理は2引数関数です。

true か false 以外の何かに評価される 述語論理 f の戻り値はグローバルフラグ prederror クロネッカーデルタとは が決定します。

関数: extremal_subset
extremal_subset ( s , f , max)
extremal_subset ( s , f , min)

要素に関数 f を適用した結果が最大または最小値になるような s の部分集合を返します。

extremal_subset( s , f , max) は、 実数値関数 f が最大値を取る、 集合またはリスト s の部分集合を返します。

extremal_subset( s , f , min) は、 実数値関数 f が最小値を取る、 集合またはリスト s の部分集合を返します。

関数: flatten ( expr )

expr の主演算子と違った演算子の部分式は、 たとえそれらが逆に expr に関するものと同じ演算子の部分式を含んだとしても、 変更なしにコピーされます。

引数の数が演算子に関して宣言された引数と違う式を flatten が構成する可能性があるかもしれません; これは整理器や評価器からのエラーメッセージを起こさせるかもしれません。 flatten はそんな状況を検出しようとしません。

特別な表現の式、例えば、標準有理式 (クロネッカーデルタとは CRE)はflattenできません; そんな場合、 flatten は引数を変更なしに返します。

リストに適用すると、 flatten はリストの要素すべてを集めます。

集合に適用すると、 flatten は集合の要素すべてを集めます。

flatten は主演算子を n項に宣言する効果に似ています。 しかしながら、 flatten は主演算子と違う演算子を持つ部分式上に影響を持ちません。 一方、 n項宣言はそれらに影響します。

引数の数が演算子に関して宣言された引数と違う式を flatten が構成する可能性があるかもしれません;

関数: full_listify ( a )

a の中のすべての集合演算子をリスト演算子で置き換え、結果を返します。 full_listify は、たとえ主演算子が set でなくても 入れ子の部分式の中の集合演算子を置き換えます。

関数: fullsetify ( a ) クロネッカーデルタとは

a がリストの時、リスト演算子を集合演算子で置き換え、 fullsetify を集合であるメンバーそれぞれに適用します。 a がリストでない時、変更なしで返します。

f([b]) の主演算子はリストでないので、行 (%o2) で f の引数は集合に変換されません。

関数: identity ( x )

任意の引数 x に対して x を返します。

関数: integer_partitions
integer_partitions ( n )
integer_partitions ( n , len )

n の整数分割を返します。 すなわち、和が n になる整数のリストです。

integer_partitions( n ) は整数 n の分割すべての集合を返します。 分割それぞれは大きい順に並べられたリストです。

integer_partitions( n , len ) は、長さ len 以下の分割すべてを返します; この場合、 len より少ない項を持つ分割それぞれには、 厳密に len 項持つ分割にするようにゼロが足されます。 分割それぞれは大きい順に並べられたリストです。

リスト [a_1, . a_m]は、 (1) a_iそれぞれが非ゼロ整数、かつ、 (2) a_1 + . + a_m = n. の時、非負整数 nの分割です。 従って 0は分割を持ちません。

条件を満たす分割すべてを見つけるには、 関数 subset を使ってください; クロネッカーデルタとは 以下は素数から成る 10の分割すべてを見つける例です。

関数: intersect ( a_1 , . a_n )

intersect は以下に見る intersection と同じです。

関数: intersection ( a_1 , . a_n ) クロネッカーデルタとは

集合 a_1 から a_n までに共通な要素を含む集合を返します。

もし引数のいずれかが集合リテラルでないなら intersection は文句を言います。

関数: kron_delta ( x , y , …, xp )

kron_delta は、 xi クロネッカーデルタとは クロネッカーデルタとは と yj が引数のすべての対で等しい時 1に整理され、 xi と yj が引数のある対で等しくない時 0に整理されます。 等号は is(equal(xi,j)) を使って決定され、 不等号は is(notsqual(クロネッカーデルタとは xi,xj)) を使って決定されます。 引数が1つの場合、 kron_delta はエラーをシグナルします。

関数: listify ( a )

a が集合の時、 a の要素を含むリストを返します。 そうでないなら、 listify は a を返します。

full_listify は a の中の集合演算子をリスト演算子に置き換えます。

関数: makeset ( expr , x , s )

式 expr から生成された要素を持つ集合を返します。 ここで x は expr の中の変数のリストであり、 s はリストの集合かリストのリストです。 集合の要素それぞれを生成するために、 変数 x を並列に s の要素にバインドして expr を評価します。

s の要素それぞれは x と同じ長さを持たなければいけません。 変数 x のリストは添字の付かないシンボルのリストでなければいけません。 たとえシンボルが1つしかない場合でも、 x は1要素のリストでなければいけなく、 s の要素それぞれは1要素のリストでなければいけません。

関数: moebius ( n )

n が k個の異なる素数の積の時、 moebius( n ) は (-1)^kに整理されます; クロネッカーデルタとは n = 1の時 1に整理されます; 他の正の数すべてに対しては 0に整理されます。

関数: multinomial_coeff
multinomial_coeff ( a_1 , . a_n )
multinomial_coeff ()

a_k それぞれが非負の整数の時、 多項係数は、 a_1 クロネッカーデルタとは + . + a_n 個の別々のオブジェクトを k番目の枠の中に a_k の要素を持つ n個の枠に置く方法の数を与えます。

一般に、 multinomial_coeff ( a_1 , . a_n ) は ( a_1 + . + a_n )!/( a_1 ! . a_n !) と同値です。

multinomial_coeff() (引数なし)は 1に評価されます。

minfactorial は multinomial_coeff が返す値を整理することができます。

関数: num_distinct_partitions
num_distinct_partitions ( n )
num_distinct_partitions ( n , list)

n クロネッカーデルタとは が非負の整数の時、 n の異なる整数分割の数を返します。 そうでないなら num_distinct_partitions は名詞形を返します。

num_distinct_partitions( n , list) は、 1, 2, 3, . n の異なる分割の数のリストを返します。

n の異なる分割は、 n = k_1 + . + k_mとなるような 異なる正の整数 k_1, . k_mのリストです。

関数: num_partitions
num_partitions ( n )
num_partitions ( n , list)

n が非負の整数の時、 n の整数分割の数を返します。 そうでないなら num_partitions は名詞式を返します。

num_partitions( n , list) は、 1, 2, 3, . n の整数分割の数のリストを返します。

非負の整数 n に対して、 num_partitions( n ) は cardinality(integer_partitions( n )) と等しいです; しかしながら、 num_partitions は 分割の集合を実際には構成しないのではるかに速いです。

関数: partition_set ( a , f )

集合 a を述語論理 f に従って分割します。

partition_set クロネッカーデルタとは は2つの集合のリストを返します。 最初の集合は f が false に評価される a の要素から成り、 二番目は a の他の要素すべてから成ります。 partition_set は is を f の戻り値に適用しません。

もし a が集合リテラルなら partition_set は文句を言います。

関数: permutations ( a )

リストまたは集合 a の要素の異なる順列すべての集合を返します。 順列それぞれは集合でなくリストです。

a がリストの時、 a の重複した要素が順列の中に含まれます。

もし a がリストリテラルや集合リテラルでないなら、 permutations は文句を言います。

関数: powerset
powerset ( a )
powerset ( a , n )

powerset( a ) は 集合 a の部分集合すべての集合を返します。 powerset( a ) は 2^cardinality( a ) 個の要素を持ちます。

powerset( a , n ) は、 濃度 n を持つ a の部分集合すべての集合を返します。

もし a が集合リテラルでないか n が非負の整数でないなら、 powerset は文句を言います。

関数: random_permutation ( a )

クヌースのシャッフルアルゴリズムで構成されるような、 集合またはリスト a のランダムな順列を返します。

関数: setdifference ( a , b )

集合 a の中にあり、集合 b にない要素を含む集合を返します。

もし a か b が集合リテラルでないなら、 setdifference は文句を言います。

関数: setequalp ( a , b )

集合 a と b が同じ要素数を持ち、 listify が決定した順序で考えて a の要素の中の x と b の要素の中の y に対して is( x = y ) が true なら、 クロネッカーデルタとは true を返します。 そうでないなら setequalp は false を返します。

関数: setify ( a )

リスト a の要素から集合を構成します。 リスト a の重複した要素は削除され、 クロネッカーデルタとは 要素は述語論理 orderlessp に従って並び替えられます。

もし a が集合リテラルでないなら、 setify は文句を言います。

関数: setp ( a )

a が Maximaの集合の時だけ true を返します。

setp は、 クロネッカーデルタとは 整理された集合はもちろん、未整理の集合(すなわち、冗長な元を持つ集合)に対して、 true を返します。

setp は Maxima関数 setp(a) := not atom(a) and op(a) = 'set と同値です。

関数: set_partitions
set_partitions ( a )
set_partitions ( a , n )

set_partitions( a , n ) は n 個の空でない交わらない部分集合への a の分解すべての集合を返します。

set_partitions( a ) は分割すべての集合を返します。

条件 1と 2が空ゆえに真なので、空集合はそれ自身の分割です。

集合の分割の集合の濃度は stirling2 を使って見つけられます。

p の要素それぞれは n = 3個の要素を持たなければいけません; チェックしましょう。

最後に、 p の要素それぞれに対して、 元の和集合は s に等しくなければいけません; チェックしましょう。

関数: some
some ( f , a )
some ( f , L_1 , . L_n )

もし与えられた引数のうち1つ以上で述語論理 f が true なら true を返します。

二番目の引数として集合1つが与えられたとして、 もし s の中の1つ以上の a_i に対して is( f ( a_i )) が true を返すなら、 some( f , s ) は true を返します。 some は s の中の a_i すべてに対して f を評価するかどうかわかりません。 集合は順序がないので、 some は任意の順序で f ( a_i ) 評価するかもしれません。

引数として 1つ以上のリストが与えられたとして、 もし L_1 , . L_n それぞれの中の1つ以上の x_1 , . x_n クロネッカーデルタとは で is( f ( x_1 , . x_n )) が true を返すなら、 some( f , L_1 , . L_n ) は true を返します。 some はいくつかの組み合わせ x_1 , . x_n クロネッカーデルタとは に対して f を評価するかどうかわかりません。 some はインデックスを増加する順序でリストを評価します。

引数として空集合 <> か空のリスト [] が与えられる場合、 some は false を返します。

グローバルフラグ maperror が true の時、 すべてのリスト L_1 , . L_n は同じ長さを持たなければいけません。 maperror が false の時、 リスト引数は最短のリストの長さに効果的に切り詰められます。

( is を介して) true か false 以外の何かに評価される 述語論理 f の戻り値は、 クロネッカーデルタとは クロネッカーデルタとは クロネッカーデルタとは グローバルフラグ prederror が決定します。 prederror が true の時、 そんな値は false として扱われます。 prederror が false の時、 そんな値は unknown として扱われます。

集合1つに適用された some 。 述語論理は引数1つの関数です。

2つのリストに適用された some 。 述語論理は引数2つの関数です。

true か false 以外の何かに評価される述語論理 f の戻り値は、グローバルフラグ prederror が決定します。

関数: stirling1 ( n , m )

n と m が非負の整数の時、 stirling1 ( n , m ) の大きさは m 個の巡回置換を持つ n 個の元を持つ集合の順列の数です。

stirling1 は整理関数です。 Maximaは以下の恒等式を知っています:

  1. stirling1(1,k) クロネッカーデルタとは = kron_delta(1,k), k >= 0,(see http://dlmf.nist.gov/26.8.E2)
  2. stirling1(n,n) クロネッカーデルタとは = 1, n >= 0 (see http://dlmf.nist.gov/26.8.E1)
  3. stirling1(n,n-1) = -binomial(クロネッカーデルタとは n,2), n >= 1, (see http://dlmf.nist.gov/26.8.E16)
  4. stirling1(n,0) = kron_delta(n,0), n >=0 (see http://dlmf.nist.gov/26.8.E14 and http://dlmf.nist.gov/26.8.E1)クロネッカーデルタとは クロネッカーデルタとは クロネッカーデルタとは
  5. stirling1(n,1) =(-1)^(n-1) (n-1)!, n >= 1 (see http://dlmf.nist.gov/26.8.E14)
  6. stirling1(n,k) = 0, n >= 0 and k > n.

これらの恒等式は 引数が、整数リテラルまたは整数と宣言されたシンボルで、かつ、 最初の引数が非負の時、 適用されます。 クロネッカーデルタとは stirling1 は、非整数引数に対して整理しません。

関数: stirling2 ( n , m )

n と m が非負の整数の時、 stirling2 ( n , m ) は、 濃度 n の集合が m 個のばらばらの部分集合に分割できる方法の数です。

stirling2 は整理関数です。 Maximaは以下の恒等式を知っています。

  1. stirling2(n,0) = 1, n >= 1 (see http://dlmf.nist.gov/26.8.E17 and stirling2(0,0) = 1)
  2. stirling2(n,n) = 1, n >= 0, (see http://dlmf.nist.gov/26.8.E4)
  3. stirling2(n,1) = 1, n >= 1, (see http://dlmf.nist.gov/26.8.E17 and stirling2(0,1) = 0)
  4. stirling2(n,2) = 2^(n-1) -1, n >= 1, (see http://dlmf.nist.gov/26.8.E17)
  5. stirling2(n,n-1) = binomial(n,2), n>= クロネッカーデルタとは クロネッカーデルタとは 1 (see http://dlmf.nist.gov/26.8.E16)
  6. stirling2(n,k) = 0, n >= 0 and k > n.

引数が整数リテラルまたは整数と宣言されたシンボルで、かつ、最初の引数が非負の時、 これらの恒等式が適用されます。 stirling2 は非整数引数に対して整理されません。

関数: subset ( a , f )

述語論理 f を満たす集合 a の部分集合を返します。

subset クロネッカーデルタとは は、 a の要素のうち、 f が false 以外の何かを返す要素の集合を返します。 subset は is を f の戻り値に適用しません。

もし a が集合リテラルでないなら subset は文句を言います。

関数: subsetp ( a , b )

集合 a が b の部分集合の時だけ true を返します。

もし a か b のいずれかが集合リテラルでないなら、 subsetp は文句を言います。

関数:クロネッカーデルタとは symmdifference ( a_1 , …, a_n )

集合 a_1 , …, a_n の対称差を返します。

2つの引数が与えられたとして、 symmdifference ( a , b ) は union (setdifference ( クロネッカーデルタとは a , b ), setdifference ( b , a )) と同じです。

もし引数が集合リテラルでないなら、 symmdifference は文句を言います。

関数: union ( a_1 , . a_n )

集合 a_1 から a_n の和集合を返します。

もし引数が集合リテラルでないなら、 union は文句を言います。

This document was generated by 市川雄二 on February, 2 2019 using texi2html 1.76.

中学入試の問題「5、9、13、□、21」□に入る数はなに?

金 重明 クロネッカーデルタとは クロネッカーデルタとは クロネッカーデルタとは プロフィール

f(x) = 1(xが有理数の場合), 0(xが有理数でない実数の場合)

数学における自由な精神

しかし残念なことに、試験で「5 9 13 □ 21」にあてはまる答えに17以外の数字を入れると×になってしまうのだろう。数列は○○数列と名づけられたものに限る、という暗黙の規則があるからだ。

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クロネッカーデルタとは

こんにちは。 あんどくん です。
電子技術科をPRしているよ!
みんな、令和元年もリアルに応援よろしくね (*´ω`)/
今日、令和元年9月4日(水)は、2限に1年生の 『 電気数学Ⅰ 』、3限に2年生の『 電子回路設計 』、4限には1年生の『 組込みプログラミング実習Ⅰ 』におじゃましたんだ。

1年生の『 電気数学Ⅰ 』は、今回が最終回で、『 三角関数の直交性 』について学んだんだよ。『 三角関数の直交性 』 は、電子回路の解析で用いる『 フーリエ級数展開 』を学ぶうえで、とっても重要なんだよ。

三角関数の直交性 』は、三角関数の関係式を使って、簡単に導けるんだ。

二つの関数 f (x) と g (x) の積を、変数 x について 0 から 2π まで定積分するとき、この定積分を記号 < f (x) | g (x) > で表すと、『 三角関数の直交性 』は、 つぎの3式:

記号 δmn は、『 クロネッカーのデルタ 』 っていって、m = クロネッカーデルタとは クロネッカーデルタとは n のとき δmn = 1、mn のとき δmn = 0 になる数因子なんだ。

3限におじゃました2年生の『 電子回路設計 』では、LTC (ライントレースカー) の製作を題材として、『 技術論文の作法 』について学んでいるんだ。

今回が最終回で、3.2節の『 センサ回路の動作原理 』を仕上げて、ページ番号を付け、文章の体裁を整えて、印刷して提出したんだ。

4限におじゃました 、『 組込みプログラミング実習Ⅰ 』では、筆記試験の最中だったんだよ。

それじゃ、帰るよ ≡3
結構、雨降ってるよ・・・ ☂️

みんな、今日も1日おつかれさま ☆彡
あと少しで前期が終了だね。引き続きがんばろっ٩( ‘ω’ )و
今日も『 産短大の毎日 』をみてくれてありがとう!
また、明日からがんばろっ ٩( ‘ω’ )و

★学生募集中★
県内イチ♪ 最新の設備と最高のスタッフで、みなさんをお待ちしています♪ 2年間で電子工学の理論を学んで、最新の電子技術を身に付けるんだったら、『 電子技術科☆都留キャンパス 』で決まりだね!
詳細はお問い合わせください。
入試情報・・・ https://www.yitjc.ac.クロネッカーデルタとは jp/yitjc/admissions.html

★お問い合わせ先★
山梨県立産業技術短期大学校 都留キャンパス
〒402-0053 山梨県都留市上谷5-7-35
TEL 0554-43-8911(代)

総和規約について

テンソル解析

テンソル解析

このような記述方法を総和規約(summation convention)クロネッカーデルタとは という。

\begin
\boldsymbol・\boldsymbol&=\left(
\begin
T_\boldsymbol_1\otimes\boldsymbol_1+T_\boldsymbol_1\otimes\boldsymbol_2+T_\boldsymbol_1\otimes\boldsymbol_3 \\
+T_\boldsymbol_2\otimes\boldsymbol_1+T_\boldsymbol_2\otimes\boldsymbol_2+T_\boldsymbol_2\otimes\boldsymbol_3 \\
+T_\boldsymbol_3\otimes\boldsymbol_1+T_\boldsymbol_3\otimes\boldsymbol_2+T_\boldsymbol_3\otimes\boldsymbol_3
\end
\right)・(n_1\boldsymbol_1+n_2\boldsymbol_2+n_3\boldsymbol_3) \\
&=(T_\boldsymbol_1+T_\boldsymbol_2+T_\boldsymbol_3)n_1+(T_\boldsymbol_1+T_\boldsymbol_2+T_\boldsymbol_3)n_2+(クロネッカーデルタとは T_\boldsymbol_1+T_\boldsymbol_2+T_\boldsymbol_3)n_3 \\
&=(T_n_1+T_n_2+T_n_3)\boldsymbol_1+(T_n_1+T_n_2+T_n_3)\boldsymbol_2+(T_n_1+T_n_2+T_n_3)\boldsymbol_3 \\
&=\sum_^3\sum_^3T_n_j\boldsymbol_i
\end

ダミーインデックスとフリーインデックス

  • 同じ項に2度現れる添え字について和をとる。
  • 同じ項に1度しか現れない添え字については和はとらない。
  • 同じ項に同じ添え字が3度以上現れてはいけない。

2度現れて和をとる添え字のことをダミーインデックス(擬標)、1度しか現れない添え字のことをフリーインデックス(自由標)と呼ぶ。

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